Legge di Newton (approf.)

Derivazione delle leggi di Keplero


Derivazione della legge di Newton
Consideriamo per semplicità il caso di moti circolari. Ogni pianeta, proprio a causa del moto di rivoluzione, è soggetto ad una accelerazione centripeta c

c = v2/d = 4 2 d/P2

con v velocità tangenziale, d raggio dell'orbita e P periodo di rivoluzione.

Se consideriamo due pianeti (1 e 2), il rapporto tra le loro accelerazioni è:

c1/c2 = d1/d2 · (P2/P1)2.

La 3a legge di Keplero stabilisce che: 3a legge di Keplero

(P2/P1)2 = (d2/d1)3

per cui

c1/c2 = (d2/d1)2.

Quindi le accelerazioni centripete sono inversamente proporzionali ai quadrati delle distanze.

Il secondo principio della dinamica afferma che ad ogni accelerazione corrisponde una forza ad essa proporzionale; quindi il Sole deve esercitare sui pianeti una forza proporzionale all'inverso del quadrato della distanza:

F = G/d2,

con G costante di proporzionalità. G

Newton suppose che la forza dovesse dipendere dalle masse dei corpi ed enunciò la legge di gravitazione come:

F = G · (m1m2)/d2,

G essendo nota come costante di gravitazione. Il valore di G fu trovato da Cavendish, nel '700, con un'esperienza divenuta classica. costante di gravitazione

Espressione esatta della 3 a legge di Keplero

Dalla legge di Newton si può ricavare la 3a legge di Keplero:

Siano m1 la massa di un pianeta e m2 quella del Sole. m1 m2

I due corpi formano un sistema che ha il baricentro in B (vedi figura a lato) e siano d1 e d2 le distanze del pianeta e del Sole da B; v1 e v2 siano le loro velocità di rivoluzione attorno al baricentro.

Se le orbite sono circolari e P è il periodo di rivoluzione attorno al baricentro, comune ai due corpi, si ha

v1 = 2 d1/P
v2 = 2 d2/P
Per entrambi gli oggetti la forza centripeta coincide con quella di gravità:

m1v12/d1 = m2v22/d2= G · (m1m2/d2)
e si ottiene, utilizzando le espressioni precedenti,

d1 = (G m2/42 d2) P2  
d2 = (G m1/42 d2) P2

da cui

d = d1 + d2 = [G · P2 m2] (m1 + m2)/(4 ·2 d2) 

cioè:

d3 / P2 = G · (m1 + m2)/4 ·2    (1)

Che è l'espressione corretta della 3a legge di Keplero. Questa formula, calcolata con l'assunzione di orbite circolari, è valida anche in caso di orbite ellittiche.

La massa m2 del Sole è molto più grande della massa di ognuno dei pianeti, per cui il secondo membro della (1) è costante per tutti corpi del Sistema Solare. Inoltre, la distanza d coincide in pratica con la distanza pianeta - Sole.

Dalla (1), noti i valori di d e P e trascurando m1, la massa m2 del corpo centrale di un qualsiasi sistema può essere calcolata facilmente. È possibile, ad esempio, calcolare la massa del Sole noti i parametri della Terra o la massa di un pianeta, noti i parametri dei suoi satelliti.

La determinazione della massa di pianeti sprovvisti di satelliti è difficile: occorre analizzare le perturbazioni indotte sul pianeta dai pianeti vicini. L'uso dei satelliti artificiali si è rivelato molto proficuo per il calcolo della massa: infatti si comportano come satelliti naturali e i parametri delle loro orbite sono noti con precisione.